我们采用基于奇异测度的多重分形来研究中国两个市场上海证券交易所（SSE）和深圳证券交易所（SZSE）的分钟综合指数和总交易量数据。与大多数使用多重分形分析的工作侧重于金融和其他时间序列的相关性相反，这种类型的多重分形关注的是时间序列中活动的突然随机爆发。我们的主要重点是使用这种级联的多分形分析来检验中国两个股票市场的多重分形如何变化，尤其是阐明与2008年全球金融危机和2015年股市崩盘相关的中国市场动态行为变化。

在研究中，我们使用了沪市和深市从2003年1月至2016年4月每个交易日的指数分钟数据和市场交易量分钟数据，其中前者转换为收益率数据。具体的分析方法我们采用了级联多分形分析方法，一方面通过Dq与q之间是否存在相关关系来判断时间序列是否存在多分形特性，另一方面，通过Dq的变化作为多分形性的测度，即Dq变化越大，时间序列中的突然随机爆发性越强。另外，为了比较级联多分形方法的效果，我们还将该方法与传统的基于奇异值谱的多分形测度方法进行了比较。

通过对两个市场的收益率分钟数据和交易量分钟数据展开级联多分形分析，我们发现他们的Dq均在随q的变化而变化，表明两个市场的收益率分钟数据和交易量分钟数据均存在多分形特征，具体分别见图1和2。

图1. 沪市（左）与深市（右）在2008.5.22这一天的收益率分钟数据的多分形分析

图2. 沪市（左）与深市（右）在2012.12.26这一天的交易量分钟数据的多分形分析

我们进一步研究了两个市场中价格波动和交易量的多分形特性随时间的变化模式，由于价格波动的多分形特性随时间的变化很小，几乎没有明显的特征，因此我们主要关注交易量的多分形特性随时间的变化，具体如图3所示。

图3. 沪深两市交易量的多分形性随时间的变化模式及其与上证综合指数的对比

从图3可以明显看出交易量的多分形随时间的变化模式存在几个不同的时期：（1）从2004年到2007年中期；（2）从2007年中至2009年末； （3）从2010年到2014年11月左右；（4）2014年11月至2015年中；（5）从2015年中开始。同时，我们进一步分析了导致交易量的多分形性出现以上的变化模式中，究竟是小交易量还是大交易量的贡献更大一些，具体见图4。可以发现，小交易量的贡献更大一些，虽然大交易量带来的多分形性均值不小，但比较平均。

图4. 沪深两市中大、小交易量对交易量的多分形性的变化模式的影响

具体来讲，在第一个阶段，沪市交易量的多分形特征明显强于深市，这表明沪市的小型参与者比沪市多。到2007年中，上证综合指数已经翻了一番以上。许多小企业对此感到不满足，他们认为是时候退出市场了，这导致上证所的多分形性急剧下降。在直到2007年10月中旬持续的“股市狂潮”和随后的股票崩盘期间，两个市场的多分形性几乎变得相同，这表明两个市场的主要参与者都是政府资助的大型参与者。从2007年6月左右到2007年10月中旬，持续的“股市狂潮”，在全球经济衰退和全球金融危机发生之时，很大程度上是由政府进一步刺激股市的政策引起的，其中大多数没有玩家意识到并积极参与。

在2007年10月开始的股票崩盘期间，大多数小型参与者只是选择不进行任何交易。他们可能希望，如果等待足够长的时间，他们的投资将至少部分反弹。小玩家在牛市和股市崩盘期间的行为差异是不对称和反杠杆现象的主要原因。

从2010年到2014年11月左右，这是中国股市典型的平静时期。市场上没有特殊事件。由于被认为是安全的，许多小型公司返回市场，导致上交所和深交所的多重分形逐渐增加。从2014年11月到2015年中期，两个市场的多分形性突然下降并且值相近，这意味着大多数小型参与者没有理解，因此也没有参与。直到市场崩溃之前，情况一直没有改变，深市的多分形性再次急剧上升，这主要是由于与深市创业板上市公司相关的活跃交易，这些活动能促进股市。但是，在第四个阶段结束时，两市再次具有相当的多重分形性，这表明两个市场现在都处于休眠状态，大型的国有参与者是市场的主要参与者。